Γραμμική Άλγεβρα

(1) ΓΕΝΙΚΑ

(2) ΜΑΘΗΣΙΑΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

(3) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Θεωρία: Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα και στην Άλγεβρα Πινάκων και Διανυσμάτων. Άμεσοι Μέθοδοι Επίλυσης Γραμμικών Συστημάτων. Στρατηγικές Οδήγησης. Ανάλυση Σφάλματος. Δείκτης Κατάστασης. Ορίζουσες. Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα. Διαγωνοποίηση. Θεμελιώδεις Υπόχωροι. Ασκήσεις.

Εργαστήρια: Εισαγωγή στη χρήση και τον προγραμματισμό του λογισμικού πακέτου MATLAB με έμφαση στα προβλήματα και τη θεωρία της Γραμμικής Άλγεβρας καθώς και των αλγορίθμων επίλυσης γραμμικών συστημάτων. Κατασκευή και προσπέλαση διανυσμάτων και πινάκων, πράξεις, πρωτεύουσες συναρτήσεις και υποσυναρτήσεις, δομές ελέγχου και λογικοί τελεστές, Μ-files και M- αρχεία Κειμένου (Script M-files).

(4) ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ και ΜΑΘΗΣΙΑΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ – ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ

Διδακτέα Ύλη ανά Εβδομάδα (13 εβδομάδες) :

1) Άλγεβρα διανυσμάτων και νόρμες διανυσμάτων
2) Εισαγωγή στους πίνακες, γινόμενο πίνακα με διάνυσμα, γινόμενο πινάκων
3) Ο αναστροφός και αντίστροφος πίνακα (ιδιοτητες και θεωρήματα), Ειδικής μορφής πίνακες (τριγωνικοί, τριδιαγώνιοι κτλ)
4) Ειδικοί πίνακες (θετικά ορισμένοι, διαγώνια ενισχυμένοι, ορθογώνιοι κτλ.), Νόρμες πινάκων και ο δείκτης κατάστασης πίνακα.
5) Επίλυση τριγωνικών γραμμικών συστημάτων (αλγόριθμοι μπρος και πίσω αντικατάστασης), απλή απαλοιφή Gauss για τετραγωνικά nxn γραμμικά συστήματα εξισώσεων.
6) Η απλή απαλοιφή Gauss και η ανάλυση LU για την επίλυση nxn συστημάτων.
7) Παραγοντοποιήσεις πινάκων (LDU, LDLt, Cholesky), η μέθοδος Gauss-Jordan για τον υπολογισμό του αντίστροφου πίνακα, εισαγωγή στην οδήγηση
8) Μερική οδήγηση και απαλοιφή Gauss, η ανάλυση PA=LU και επίλυση συστημάτων.
9) ιδιόμορφα γραμμικά συστήματα, λύση υπερκαθοριμεένων και υποκαθορισμένων συστημάτων, τάξη πίνακα
10) Οι θεμελιώδεις υπόχωροι ενός πίνακα, γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων
11) Βάση και διάσταση υποχώρων, ορίζουσες (ορισμός, ιδιότητες, υπολογισμός)
12) Ορίζουσες, ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα τετραγωνικών πινάκων
13) Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα, διαγωνοποίηση πινάκων.

Εργαστήριο:

1) Εισαγωγή στο λογισμικό Matlab/Octave.
2) Πράξεις και μεταβλητές. Μαθηματικές συναρτήσεις
3) Κατασκευή και προσπέλαση διανυσμάτων.
4) Πράξεις διανυσμάτων. Συναρτήσεις διανυσμάτων. Μεγέθη και νόρμες διανυσμάτων.
5) Εσωτερικό και εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων. ∆ημιουργία στοιχειωδών πινάκων. Κατασκευή και προσπέλαση πινάκων.
6) Πρώτη εξέταση (πρόοδος εργαστηρίου)
7) Τελεστές και Προτεραιότητα πράξεων. Πράξεις στοιχειο προς στοιχείο. ∆ράση αλγεβρικών συναρτήσεων σε πίνακα. Σύνθετες συναρτήσεις γραμμικής άλγεβρας.
8) Συναρτήσεις χειρισμού πινάκων. Βασικές νόρμες πινάκων.
9) Δομές ελέγχου (For, while και if). Λογικοί τελεστές. Script m-files, function m-files.
10) Υλοποίηση αλγορίθμου για επίλυση γραμμικού συστήματος με την μέθοδο απαλοιφής Gauss.
11) Παραγοντοποίησεις πινάκων. Χρήση έτοιμων συναρτήσεων LU και Cholesky
12) Δεύτερη εξέταση (πρόοδος εργαστηρίου)

(5) ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΦΟΙΤΗΤΩΝ

Σχόλια για την Αξιολόγηση των Φοιτητών :

1. Γραπτή εξέταση η οποία περιλαμβάνει επίλυση προβλημάτων και ερωτήσεις κατανόησης της θεωρείας. Συντελεστής 80%.
2. Ασκήσεις Εργαστηρίου με συντελεστή 5%.
3. Δύο εξετάσεις εργαστηρίου στον υπολογιστή στην υλοποίηση και εφαρμογή της θεωρείας σε πρακτικά προβλήματα με χρήση του λογισμικού MATLAB. Συντελεστής 15%.

(6) ΣΥΝΙΣΤΩΜΕΝΗ-ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

(1) Ηλεκτρονικές σημείώσεις, διαθέσιμες στο eclass.science.tuc.gr/modules/document/file.php/MATH104/ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ/NLA.PDF
(2) H. Anton - Ch. Rorres, "Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα και Εφαρμογές, Gutenberg.
(3) G.Strang, “Γραμμική Άλγεβρα και Εφαρμογές», Παν. Εκδόσεις Κρήτης.
(4) Γ. Δονάτος και Μ. Αδάμ, «Γραμμική Άλγεβρα, Θεωρεία και Εφαρμογές», Gutenberg